Основные элементарные функции и их свойства

1. Степенная функция y=x^\alpha,
\alpha \in R

Rendered by QuickLaTeX.com

2. Показательная функция y=a^x,
a \in R, a > 0, a \neq 1

Rendered by QuickLaTeX.com

3. Логарифмическая функция y=\log_{a}x,
a \in R, a > 0, a \neq 1, x > 0

Rendered by QuickLaTeX.com

4. Тригонометрические функции:
y=sinx, |sinx|\leq 1;
y=cosx, |cosx|\leq 1;

Rendered by QuickLaTeX.com

y=tgx, x \neq \frac{\pi}{2}+{\pi}k,
где k \in Z

Rendered by QuickLaTeX.com

y=ctgx, x \neq {\pi}k,
где k \in Z

Rendered by QuickLaTeX.com

5. Обратные тригонометрические функции:
y=arcsinx, |x|\leq 1;

Rendered by QuickLaTeX.com

y=arccosx, |x|\leq 1;

Rendered by QuickLaTeX.com

y=arctgx, x \in R;

Rendered by QuickLaTeX.com

y=arcctgx, x \in R;

Rendered by QuickLaTeX.com

Пример 1.1
Дано y=cosx, g=ln(y+1), h=\sqrt[3]{3-g^2}.
Выразить h как функцию от x.
Решение: g=ln(cosx+1), h=\sqrt[3]{3-ln^2(cosx+1)}

Пример 1.2
Дано f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-5x+3}},
Найти область определения функции f(x)
Решение: рассмотрим систему соотношений

    \[\begin{cases} \sqrt{x^2-5x+3} \neq 0 , \\ x^2-5x+3 > 0  \end{cases} \]

<=> x^2-5x+3 > 0  (*)
Решим неравенство (*). Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2-5x+3 = 0.
D = 25-12 = 13, x_1 = \frac{5-\sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{5+\sqrt{13}}{2}.
Неравенству (*) будут удовлетворять x \in (-\infty; \frac{5-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{5-\sqrt{13}}{2}; \infty).
Такими x и будет определяться область определения для f(x)

Пример 1.3
Дано f(x)=ln(cosx).
Найти область определения функции f(x).
Решение: здесь нужно решить неравенство cosx > 0.