Пределы функций непрерывного аргумента

В данных примерах x \in R
Пример 4.1
Найти предел

    \[\lim_{x\to 5} \left(\frac{x^2+6x+7}{2x-5}+3\right)=\frac{25+30+7}{5}=\frac{62}{5}=12\frac{2}{5}\]

Пример 4.2
Найти предел

    \[\lim_{x\to -\frac{5}{2}} \frac{13x+7}{2x+5}=\frac{13\cdot\frac{-5}{2}+7}{-5+5}=\frac{-25.5}{0}=-\infty\]

Пример 4.3
Найти предел

    \[\lim_{x\to 5} \frac{x^3+2x^2-35x}{x^2-3x-10}=\left[ \frac{0}{0} \right]=\lim_{x\to 5} \frac{x(x-5)(x+7)}{(x-5)(x+2)}=\]

    \[=\lim_{x\to 5} \frac{x(x+7)}{(x+2)}=\frac{5\cdot12}{7}=\frac{60}{7}=8\frac{4}{7}\]

Пример 4.4
Найти предел

    \[\lim_{x\to -2} \left(\frac{1}{2+x}-\frac{12}{8+x^3}\right)=\left[\infty-\infty\right]=\]

    \[=\lim_{x\to -2} \left(\frac{1}{2+x}-\frac{12}{(2+x)(4-2x+x^2)}\right)=\]

    \[\lim_{x\to -2} \frac{4-2x+x^2-12}{(2+x)(4-2x+x^2)}=\lim_{x\to -2} \frac{x^2-2x-8}{(2+x)(4-2x+x^2)}=\]

    \[=\lim_{x\to -2} \frac{(x+2)(x-4)}{(2+x)(4-2x+x^2)}=\lim_{x\to -2} \frac{x-4}{4-2x+x^2}=\frac{-2-4}{4+4+4}=\]

    \[-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}\]

ФОРМУЛА

    \[\lim_{x\to \pm\infty}\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n} {b_0x^m+b_1x^{m-1}+...+b_{m-1}x+b_m}=\]

(1)   \begin{equation*}   =\begin{cases}     0, & \text{if $n<m$}.\\     \frac{a_0}{b_0}, & \text{if $n=m$ and $a_0 \neq 0, b_0 \neq 0$}. \\     \infty, & \text{if $n>m$ and $a_0>0, b_0>0$ and $n,m-even$ or $n,m-odd$} \\     \infty, & \text{if $n>m$ and $a_0<0, b_0<0$ and $n,m-even$ or $n,m-odd$} \\   \end{cases} \end{equation*}