Пределы функций целочисленного аргумента

В данных примерах n \in Z
Пример 3.1
Найти предел

    \[\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[4]{n^4+3n^3+7}}{2n+5}=\lim_{n\to\infty} \frac{n\sqrt[4]{1+\frac{3}{n}+\frac{7}{n^4}}}{2n+5}= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[4]{1+\frac{3}{n}+\frac{7}{n^4}}}{2+\frac{5}{n}}\]

    \[=\frac{\sqrt[4]{1+\frac{3}{\infty}+\frac{7}{\infty}}}{2+\frac{5}{\infty}}=  \frac{\sqrt[4]{1+0+0}}{2+0}=\frac{1}{2}\]

Пример 3.2
Найти предел

    \[\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+...+\frac{1}{7^n}}{1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{5^n}}=\]

(формула суммы геометрической прогрессии)

    \[=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{1-\frac{1}{7}}}{\frac{1}{1-\frac{1}{5}}}=\frac{7}{6}\cdot\frac{4}{5}=\frac{14}{15}\]

Пример 3.3
Найти предел

    \[\lim_{n\to\infty} \frac{5^n+1}{2 \cdot 5^n-1}=\lim_{n\to\infty} \frac{5^n\cdot(1+\frac{1}{5^n})}{5^n\cdot(2-\frac{1}{5^n})}=\lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{1}{\infty}}{2-\frac{1}{\infty}}=\]

    \[=\frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}\]